SUDUT-SUDUT BERELASI

Sudut-Sudut Berelasi

Nama: Rizkiah

Kelas: X MIPA 1

Sudut-Sudut Berelasi

  Sudut Berelasi – Adalah perluasan definisi dasar ilmu trigonometri tentang kesebangunan pada segitiga siku-siku yang memenuhi untuk sudut kuadran I atau sudut lancip (0 − 90°).

Rumus Sudut Berelasi

  Dengan memakai sudut-sudut relasi, kita mampu menghitung nilai perbandingan pada trigonometri untuk sudut pada kuadran lainnya, bahkan untuk sudut yang lebih dari 360°, termasuk juga sudut negatif.

 Sudut-sudut yang berelasi atau berhubungan ditunjukkan dengan adanya hubungan antara sudut α dengan sudut (90° ± α), (180° ± α), (270° ± α), (360° ± α), atau -α.

Jika sudut α berelasi dengan sudut (90° - α) atau (π2 - α), maka kedua sudut dinamakan saling berpenyiku. Selanjutnya, jika sudut α berelasi dengan sudut (180° - α) atau (π - α), maka kedua sudut tersebut dinamakan saling berpelurus.

Perbandingan Trigonometri di kuadran.

Oleh karena pada gambar di atas, titik M(x1, y1) adalah bayangan dari titik K(x, y) oleh pencerminkan terhadap garis y = x, maka

Dengan demikian, relasi antara sudut α dengan sudut (90° - α) atau (π2−α) adalah sebagai berikut:

Contoh:

sin75°=sin(90°−15°)=cos15°

cosπ6=cos(π2−π3)=sinπ3

tan25°=tan(90°−65°

》Perbandingan Trigonometri di Kuadran II

A. Sudut α berelasi dengan sudut (180° - α) atau (π - α)

Relasi antara sudut α dengan sudut (180° - α) adalah sebagai berikut

Contoh:sin120° = sin(180°−60°)=sin60°=123√

cos56π = cos(π−π6)=−cosπ6=−123√

tan135°= tan(180°−45

B. Sudut α berelasi dengan (90° + α) atau (π2 + α)

Misalkan A(x , y), OA = r, dan ∠AOC = α.

Jika α diputar dengan pusat perputaran adalah O(0,0) sejauh 90° dengan arah berlawanan arah putar jarum jam, maka bayangan titik A oleh perputaran tersebut adalah A'(-y , x).

Dengan demikian, ∠AOA' = (90° + α) dan OA = OA' = r.

Berdasarkan gambar di atas, relasi antara sudut α dengan (90° + α) adalah sebagai berikut:

Contoh:sin 120° = sin(90° + 30°) = cos 30° = 123√

tan 135° = tan(90° + 45°) = - cot 45° = -1

》Perbandingan Trigonometri di Kuadran III

A. Sudut α berelasi dengan (180° + α) atau (π α)

Mari kita perhatikan gambar berikut:

Relasi antara sudut α dengan sudut (180° + α) adalah sebagai berikut

B. Sudut berelasi dengan sudut (270° - α) atau (32π - α)

Misalkan A(x , y), OA = r, dan ∠AOC = α.

Jika titik A dicerminkan terhadap garis y = x, kemudian diputar dengan pusat perputaran adalah O sejauh 180° dengan arah berlawanan arah putar jarum jam, maka bayangan dari titik A adalah A"(-y, -x), dimana ∠AOA' = (270° - α) dan OA = OA" = r

Berdasarkan gambar di atas, relasi antara sudut α dengan (270° - α) adalah sebagai berikut:

Contoh:

Tentukan nilai dari cos 210° dengan menggunakan relasi (180° + α) dan (270° - α).

Penyelesaian

Berdasarkan uraian di atas, tampak bahwa kedua relasi memberikan hasil yang sama.

》Perbandingan Trigonometri di Kuadran IV

A. Sudut α berelasi dengan (360° - α) atau (2π - α)

QOP' = (360° - α)

Dengan demikian, relasi antara sudut α dengan sudut (360° - α) atau (2π - α) adalah sebagai berikut:

Contoh: 

B. Sudut α berelasi dengan sudut (270° + α) atau (32π + α)

  Jika titik A(x , y) dengan OA = r dan ∠AOB = α diputar dengan pusat O(0,0) sejauh 270° dengan arah berlawanan arah putar jarum jam, maka bayangan dari titik A adalah A'(y , x), dimana∠AOA' = (270° + α) dan OA = OA' = r.

Berdasarkan gambar di atas, relasi antara sudut α dan sudut (270° + α) adalah sebagai berikut:

C. Sudut α berelasi dengan sudut (-α)

Mari kita perhatikan gambar berikut.

Pada gambar di atas,

∠QOP = α → berlawanan arah dengan arah putar jarum jam

∠QOP' = -α → searah dengan arah putar jarum jam

Dengan demikian,

Contoh:

Bagaimana dengan nilai perbandingan trigonometri pada batas kuadran?

Nilai perbandingan trigonometri pada batas kuadran dapat kita tentukan dengan menggunakan lingkaran satuan.

Lantas, bagaimana dengan sudut A yang lebih besar dari 360°?

Jika sudut A lebih besar dari 360°, maka sudut A harus diubah terlebih dahulu sehingga berbentuk (θ + k.360°) dengan k = 1, 2, 3, 4, ....

Dengan demikian,

Contoh Soal Sudut Berelasi

Berikut adalah contoh soal yang menggunakan sudut berelasi.

1. Untuk perbandingan trigonometri berikut, nyatakanlah dalam perbandingan trigonometri sudut komplemennya !

sin 50°

tan 40°

cos 35°

Jawab :

sin 50° = sin (90° − 400°)

             = cos 40°

tan 40° = tan (90° − 50°)

              = cot 50°

cos 35° = cos (90° − 55°)

              = sin 55°

Ketiganya bernilai positif, karena sudut 50°, 40° dan 35° berada di kuadran I.

2. Nyatakan tiap perbandingan trigonometri berikut di dalam sudut 37° !

tan 153°

sin 243°

cos 333°

Jawab :

Sudut 153° adapada kuadran II, hingga tan 153° memiliki nilai negatif.

tan 153° = tan (180° − 27°)

                = -tan 27°

Sudut 243° ada pada kuadran III, sehingga sinus memiliki nilai negatif.

sin 243° = sin (270° − 27°)

               = -cos 27°

Sudut 333° ada pada kuadran IV, hingga cosinus memiliki nilai positif.

cos 333° = cos (360° − 27°)

                = cos 27°